Question

已知集合M是滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182933773869430/SYS201310241829337738694013_ST/0.png">．若函數(shù)，g（x）∈M，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：若函數(shù)g（x）=∈M 可判斷g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)，故g（x）滿足②即方程 在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根，
方法一：平方去根號，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上解的問題，利用實(shí)根分布處理；
方法二：可轉(zhuǎn)化為方程 在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根，兩個函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)．結(jié)合圖象求解．兩種方法中都要注意等價轉(zhuǎn)化．
解答：解：設(shè) g（x）=+m，則易知g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數(shù)．
∵g（x）∈M，
∴存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足 g（a）=a，g（b）=b．
即方程 g（x）=x在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根．
[法一]：方程+m= 在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根，等價于方程 x-1=在[2t，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根．
即方程x²-（4m+4）x+4m²+4=0在[2m，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根．
根據(jù)一元二次方程根的分布有
解得 0＜m≤
因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是 0＜m≤．
[法二]：要使方程]：方程+m= 在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根
即方程=-m在[1，+∞）內(nèi)有兩個不等實(shí)根
如圖，當(dāng)直線 y=x-m經(jīng)過點(diǎn)（1，0）時，
當(dāng)直線 y=x-m與y=相切時，
方程兩邊平方，得x²-（4m+4）+4（m²+4）=0由△=0，得m=0．
因此，利用數(shù)形結(jié)合得實(shí)數(shù)t的取值范圍是 0＜m≤
故答案為：（0，]

點(diǎn)評：本題考查集合的包含關(guān)系、函數(shù)的定義域、值域問題，同時考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想和利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．