Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=2，O為AB的中點，沿OC將△AOC折起到△A′OC的位置，使得直線A′B與平面ABC成30°角．
（1）若點A′到直線BC的距離為l，求二面角A′-BC-A的大小；
（2）若∠A′CB+∠OCB=π，求BC邊的長．

Answer 1

分析：（1）過點A′作A′D⊥AB，垂足為D，由已知中AC=BC，沿OC將△AOC折起到△A′OC的位置，易根據面面垂直的判定定理得到平面A′OB⊥平面ABC，進而得到A′D⊥平面ABC，再根據已知中直線A′B與平面ABC成30°角，求出A′D的長度，過點D作DE⊥BC，垂足為E，連接A′E，易得∠A′ED為二面角A′-BC-A的平面角，解Rt△A′DE即可求出二面角A′-BC-A的大小；
（2）設BC=x，∠A′CB=θ，則A′C=x，∠OCB=π-θ，解Rt△BOC，△A′DB，△A′BC，可以求出x值的大小，進而得到BC邊的長．

解答：解：（1）由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′從而平面A′OB⊥平面ABC．
過點A′作A′D⊥AB，垂足為D，則A′D⊥平面ABC，…（2分）
∴∠A′ED=30°，又A′O=BO=1，∴∠A′OD=60°，
從而A′D=A′O•sin60°=

3

2

．…（4分）
過點D作DE⊥BC，垂足為E，連接A′E，據三垂線定理，A′E⊥BC．
∴∠A′ED為二面角A′-BC-A的平面角．…（5分）
由已知，A′E=1，在Rt△A′DE中sin∠A′ED=

A′D

A′E

=

3

2

∴∠A′ED=60°故二面角A′-BC-A的大小為60°．…（6分）
（2）設BC=x，∠A′CB=θ，則A′C=x，∠OCB=π-θ．
在Rt△BOC中，sin∠OCB=

OB

BC

∴sin（π-θ）=

1

x

，即sinθ=

1

x

…（9分）
在△A′DB中，A′B=

A′D

sin30°

=

3

在△A′BC中，A′B²=A′C²+BC²-2A′C•BC•cos∠A′CB
∴3=x²+x²-2x²•cosθ，即cosθ=1-

3

2x2

…（12分）
∵sin²θ+cos²θ=1
∴

1

x2

+（1-

3

2x2

）²=1
解得x=

3 2

4

故BC=

3 2

4

…（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，空間兩點之間的距離計算，其中（1）的關鍵是構造出∠A′ED為二面角A′-BC-A的平面角，（2）的關鍵是設出BC邊的長，根據已知條件，結合解三角形的方法（余弦定理）構造出關于x的方程．