Question

(本題滿分15分)已知點在拋物線上，點到拋物線的焦點F的距離為2.
（Ⅰ）求拋物線的方程；
(Ⅱ)已知直線與拋物線C交于O (坐標原點)，A兩點，直線與拋物線C交于B，D兩點．
(ⅰ) 若 |，求實數的值；
(ⅱ) 過A，B，D分別作y軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，D₁．記分別為三角形OAA₁和四邊形BB₁D₁D的面積，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）拋物線 的準線為，   
由拋物線定義和已知條件可知，
解得，故所求拋物線方程為.  
(Ⅱ)(ⅰ)解: 設B(x₁，y₁)， D(x₂，y₂)，由 得，
由Δ，得或，且y₁＋y₂＝4m， y₁y₂＝－4m．
又由 得y²－4my＝0，所以y＝0或4m．
故A (4m²，4m)．由 | BD |＝2 | OA |，得(1＋m²)(y₁－y₂)²＝4 (16m⁴＋16m²)，
而 (y₁－y₂)²＝16m²＋16m，故m＝．     
(ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2m＝4m²＋2m．
所以＝＝
＝＝．
令＝t，因為或，所以－1＜t＜0或t＞0．
故 ＝，所以 0＜＜1 或 ＞1，工資 即 0＜＜1 或 ＞1．
所以，的取值范圍是(0，1)∪(1，＋∞)．　

略