Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，求證：；

（3）設函數，其中為實常數，試討論函數的零點個數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明；（3）見解析

【解析】

（1）根據題意求出函數的導函數，表示出切點的縱坐標，根據導數的幾何意義列出方程，由此即可求出切點的橫坐標；

（2）設，求出函數的導函數，令，列出表格，觀察即可判斷出函數的最小值，從而證明；

（3）根據題意，構造出函數，求出函數的導函數，分情況討論b的取值范圍，當b≤0，根據與0的關系判斷出的零點個數；其次當b>0時，結合x的范圍判斷出函數的單調性，這里要注意當x>2時，根據b的范圍即、和來判斷的零點，由此即可知的零點個數.

（1）． 因為切線過原點，

所以 ，解得：．

（2）設，則．

令，解得．

在上變化時，的變化情況如下表

x	(0,2)	2
	-	0	+

所以 當 時，取得最小值．

所以 當時，，即．

（3）等價于，等價于．注意．

令，所以．

（I）當時， ，所以無零點，即在定義域內無零點．

（II）當時，（i）當時，，單調遞增；

因為在上單調遞增，而，

又，所以．

又因為，其中，

取，表示的整數部分．所以，，由此．

由零點存在定理知，在上存在唯一零點．

（ii）當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

所以當時，有極小值也是最小值，．

①當，即時，在上不存在零點；

②當，即時，在上存在唯一零點2；

③當，即時，由有，

而，所以在上存在唯一零點；

又因為，．

令，其中，，，，

所以，因此在上單調遞增，從而，

所以在上單調遞增，因此，

故在上單調遞增，所以．

由上得，由零點存在定理知，在上存在唯一零點，即在上存在唯一零點．

綜上所述：當時，函數的零點個數為0；

當時，函數的零點個數為1；

當時，函數的零點個數為2；

當時，函數的零點個數為3．