Question

已知函數f（x）=3ax⁴-2（3a+1）x²+4x
（ I）當a=

1

6

時，求f（x）的極值；
（ II）若f（x）在（-1，1）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=

1

6

時，對函數求導f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），由導數確定函數的單調性，進而可求函數的極值與極值點；
（2）f（x）在（-1，1）上是增函數，則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，從而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，可求a的取值范圍．

解答：解：（I ）a=

1

6

，f（x）=

1

2

x4-3x2+4x
對函數求導可得，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）
當x＞-2時，f′（x）＞0，函數f（x）在（-2，+∞）上單調遞增
x＜2時，f′（x）＜0，函數f（x）在（-∞，-2）上單調遞減
x=-2是函數的極小值f（-2）=-12，沒有極大值
（II）∵f（x）在（-1，1）上是增函數，則f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1
則

a＞0 g(-1)≤0 g(1)≤0

或

a＜0 g(- 1 2 )≤0

或a=0
∴

a＞0 -1≤0 6a-1≤0

或

a＜0 - 3a 4 -1≤0

或a=0
∴-

4

3

≤a≤

1

6

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值與函數的單調性，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．