Question

已知△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，求點P到AC、BC的距離乘積的最大值．

Answer 1

∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，依題意，作圖如下：
BC在x軸上，B點與原點O重合，點A（0，b）在y軸正半軸上，
依題意知，b=

42-32

=

7

，
設點P（0，m）（0＜m＜

7

），
∵直線AC的方程為

x

3

+

y

7

=1，即

7

x+3y-3

7

=0，
∴點P（0，m）到直線

7

x+3y-3

7

=0的距離（即點P（0，m）到AC的距離）d=

|3m-3 7 |

( 7 )2+32

=

3

4

|m-

7

|=

3

4

（

7

-m），
又點P（0，m）到BC的距離為m，
∴點P到AC、BC的距離乘積f（m）=m•

3

4

（

7

-m）≤

3

4

•(

m+( 7 -m)

2

)2=

3

4

•

7

4

=

21

16

（當且僅當m=

7

2

時取“=”）．
∴點P到AC、BC的距離乘積的最大值為

21

16

．