Question

【題目】已知直線y=x﹣2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求證：OA⊥OB．
（2）求|AB|．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：設A（x1，y1 ），B（x2，y2），

則 ，整理得：y2﹣2y﹣4=0，

∴y1+y2=2，y1y2=﹣4

∴x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4，

由 =x1x2+y1y2=4+（﹣4）=0，

∴ ⊥ ，

∴OA⊥OB

（2）

解：由（1）可知：x1+x2=（y1+2）+（y2+2）=y1+y2+4=6，

|AB|= = =2 ，

∴|AB|=2

【解析】（1）將直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理，求得y1y2及x1x2 ， 由 =x1x2+y1y2=0，即可證明OA⊥OB；（2）利用弦長公式即可求得|AB|．