Question

已知函數f(x)=

loga(ax2-4x+4)       (x≥1) (3-a)x+b                 (x≤1)

在（-∞，+∞）上是增函數，則b的取值范圍是（　　）

A．[-1，0）

B．（-1，0]

C．（-1，1）

D．[0，1）

Answer 1

分析：由于分段函數在（-∞，+∞）上是增函數，則必使函數在每段上均是增函數，并且3-a+b≤log_aa=1
而在第一段上所給的函數是一個對數型復合函數，需依據復合函數的單調性得出a滿足的不等式組，求出a的取值范圍．

解答：解：由于函數f(x)=

loga(ax2-4x+4)       (x≥1) (3-a)x+b                 (x≤1)

在（-∞，+∞）上是增函數，
則函數f（x）=log_a（ax²-4x+4）在[1，+∞）上是增函數，f（x）=（3-a）x+b為增函數，并且3-a+b≤log_aa=1
（1）當x≥1時，f（x）=log_a（ax²-4x+4）
由于內層函數t=ax²-4x+4的圖象開口向上，對稱軸是x=

2

a

，
則內層函數在（-∞，

2

a

]是減函數，在（

2

a

，+∞）是增函數．
要使f（x）=log_a（ax²-4x+4）在（-∞，1]上是增函數，
故有

2 a ≤1 a＞1   a＞0

，解得a≥2
（2）當x＜1時，由于f（x）=（3-a）x+b為增函數，則3-a＞0，即a＜3
（3）由于3-a+b≤log_aa=1?a≥2+b
綜上可知，2≤2+b＜3，故0≤b＜1
故答案為 D

點評：本題考查對數函數的單調性與一次函數的單調性及復合函數單調性的判斷，解題的關鍵是運用函數的單調性轉化出參數滿足的不等式組，本題易因為忘記真數大于0的限制，導致所求的參數的范圍過大，轉化時要注意保證等價，本題考察了判斷推理的能力，是對數中難度較大、綜合性較強的題