Question

已知△ABC中三個角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，若a=2，b+c=4，則△ABC面積的最大值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由a=2，b+c=4，得到點A在以2為長軸，為短軸的半橢圓上，如圖所示，當A在橢圓與y軸的交點時，BC邊上的高最大，此時三角形ABC為邊長為2的等邊三角形，求出等邊三角形的面積，此時三角形面積最大．
解答：∵a=2，b+c=4，
∴點A在橢圓+=1在x軸上方的部分，如圖所示：

當點A為橢圓+=1與y軸正半軸的交點（0，）時，△ABC的高最大，即△ABC面積的最大值，
此時b=c=2，又a=2，
∴△ABC為邊長是2的等邊三角形，
則△ABC面積的最大值為×2²=．
故選B
點評：此題考查了動點的軌跡方程，橢圓的性質，根據題意得出點A在橢圓+=1在x軸上方的部分，進而得出BC邊上高的最大值是解本題的關鍵．