Question

【題目】某化工廠擬建一個下部為圓柱，上部為半球的容器（如圖圓柱高為 ，半徑為 ，不計厚度，單位：米），按計劃容積為 立方米，且 ，假設建造費用僅與表面積有關（圓柱底部不計 ），已知圓柱部分每平方米的費用為2千元，半球部分每平方米的費用為2千元，設該容器的建造費用為y千元.

（1）求y關于r的函數關系，并求其定義域；
（2）求建造費用最小時的 .

Answer 1

【答案】
（1）解：由容積為 立方米，得 ,解得 ,又圓柱的側面積為 ，半球的表面積為 ，所以建造費用 ，定義域為 .

（2）解： ，又 ，所以 ，所以建造費用 ，在定義域 上單調遞減，所以當r=3時建造費用最小.

【解析】(1)由該幾何體的容積等于圓柱的體積加上半球的體積可求出h=≥2r解得r的取值范圍，再利用該幾何體的表面積等于圓柱的側面積加上半球的表面積，進而得出建造費用的函數解析式。(2)根據題意對原函數求導，結合題意討論導函數的正負即可得出原函數的單調性，進而得出建造費用的最小.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．