Question

已知數列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

的前n項和為S_n．
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄，根據計算結果，猜想S_n的表達式，并用數學歸納法進行證明；
（2）試用其它方法求S_n．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列的求和

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由題意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用數學歸納法證明，檢驗n=1時，猜想成立；假設S_k=

k

3k+1

，則當n=k+1時，由條件可得當n=k+1時，也成立，從而猜想仍然成立；
（2）利用裂項法，可求S_n．

解答： 解：（1）因為 S1=

1

1×4

=

1

4

；S2=

1

4

+

1

4×7

=

2

7

；S3=

2

7

+

1

7×10

=

3

10

；S4=

3

10

+

1

10×13

=

4

13

．
可以看出，上面表示四個結果的分數中，分子與項數n一致，分母可用項數n表示為3n+1．于是猜想Sn=

n

3n+1

．…（6分）
下面用數學歸納法證明這個猜想．
ⅰ當n=1時，左邊=S1=

1

4

，右邊=

n

3n+1

=

1

3×1+1

=

1

4

，猜想成立．
ⅱ假設n=k（k∈N^*）時，猜想成立，即

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3k-2)(3k+1)

=

k

3k+1

，
那么

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3k-2)(3k+1)

+

1

[3(k+1)-2)][3(k+1)+1]

=

k

3k+1

+

1

[3(k+1)-2)][3(k+1)+1]

=

3k2+4k+1

(3k+1)(3k+4)

=

(3k+1)(k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

．
所以當n=k+1時，猜想也成立．
根據ⅰ和ⅱ，可知猜想對任何n∈N^*時都成立．…（12分）
（2）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

{(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)}
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

…（16分）

點評：本題主要考查數學歸納法的應用，用歸納法證明數學命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設n=k時成立，由n=k成立推導n=k+1成立，要注意由歸納假設到檢驗n=k+1的遞推．