Question

已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切。

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

（Ⅲ）設C₂與x軸交于點Q，不同的兩點R、S在C₂上，且 滿足，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（2）.

【解析】

 解：（1）由                                   （2分）

    由直線

所以橢圓的方程是                                          （4分）

（2）由條件，知|MF₂|=|MP|。即動點M到定點F₂的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是。                （8分）

（3）由（2），知Q（0，0）。設

所以當故的取值范圍是。