Question

如圖所示,AB是☉O的直徑,弦BD、CA的延長線相交于點E,F為BA延長線上一點,且BD·BE=BA·BF,求證:

(1)EF⊥FB;
(2)∠DFB+∠DBC=90°.

Answer 1

見解析

證明:(1)連接AD.

在△ADB和△EFB中,
∵BD·BE=BA·BF,
∴=.
又∠DBA=∠FBE,
∴△ADB∽△EFB,
又∵AB為☉O直徑,
∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.
(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,
∴E、F、A、D四點共圓,
∴∠DFB=∠AEB.
又AB是☉O的直徑,則∠ACB=90°,
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.