Question

已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直線y=0，x=a（0＜a≤1）和曲線y=x³圍成的曲邊三角形區域，若向區域Ω上隨機投一點，點落在區域A內的概率為

1

64

，則a的值是

1

2

．

Answer 1

分析：根據題意，易得區域Ω的面積，由定積分公式，計算可得區域A的面積，又由題意，結合幾何概型公式，可得關于a的等量關系，解可得答案．

解答：解：根據題意，區域Ω即邊長為1的正方形的面積為1×1=1，
區域A即曲邊三角形的面積為∫₀^ax³dx=

1

4

x⁴|₀^a=

1

4

a⁴，
若向區域Ω上隨機投一點P，點P落在區域A內的概率是

1

64

，
則有

1 4 a4

1

=

1

64

，
解可得，a=

1

2

，
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查幾何概型的計算，涉及定積分的計算，關鍵是用a表示出區域A的面積．