Question

（2012•杭州二模）已知正實數x，y滿足等式x+y+8=xy，若對任意滿足條件的x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍是

（-∞，

65

8

]

．

Answer 1

分析：先根據等式確定x+y≥8，再將對任意滿足條件的正實數x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，轉化為a≤(x+y)+

1

x+y

對任意滿足條件的正實數x，y恒成立，求出右邊的最小值，即可得到結論．

解答：解：∵正實數x，y滿足等式x+y+8=xy
∴x+y+8≤

(x+y)2

4

∴（x+y-8）（x+y+4）≥0
∵x+y+4≥0
∴x+y-8≥0
∴x+y≥8（當且僅當x=y=4時，取等號）
∵對任意滿足條件的正實數x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0
∴a≤(x+y)+

1

x+y

對任意滿足條件的正實數x，y恒成立
令t=x+y（t≥8），則f（t）=t+

1

t

在（8，+∞）上為單調增函數
∴f（t）=t+

1

t

≥8+

1

8

=

65

8

（當且僅當t=8，即x=y=4時，取等號）
∴a≤

65

8

∴實數a的取值范圍是（-∞，

65

8

]
故答案為：（-∞，

65

8

]

點評：本題考查基本不等式的運用，考查利用函數的單調性求函數的最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是將對任意滿足條件的正實數x，y，都有不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0，轉化為a≤(x+y)+

1

x+y

對任意滿足條件的正實數x，y恒成立．