【題目】設(shè)有2009個人站成一排，從第一名開始1至3報數(shù)，凡報到3的就退出隊伍，其余的向前靠攏站成新的一排.再按此規(guī)則繼續(xù)進行，直到第
次報數(shù)后只剩下3人為止.試問：最后剩下的3人最初站在什么位置？
【答案】最后剩下的三個人最初在隊伍的第一、第二和第1600個位置.
【解析】
第
次報數(shù)后剩下的3人中，前兩人最初的位置顯然是原來隊伍中的第一和第二個位置.
設(shè)第三個人的最初位置是
.則第一次報數(shù)后他站在第
個位置，……第次報數(shù)后他站在第
個位置.顯然，
.
由
，都沒有被淘汰知，這些數(shù)都不是3的倍數(shù).
事實上，經(jīng)過一次報數(shù)，由到的位置變動的數(shù)目
就是由1到這些數(shù)中所有3的倍數(shù)的個數(shù)，即
（
或2）.
所以，
，
（或2）.
又、都是正整數(shù)，則
當(dāng)為奇數(shù)時，；
當(dāng)為偶數(shù)時，
.
故
，①
其中，
、
取1或2，具體取值如前所述.
由及式①，逐一計算
，直至
為止得
，
，
……
，
.
故最后剩下的三個人最初在隊伍的第一、第二和第1600個位置.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】(本小題滿分15分)
在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個生產(chǎn)公司投資A生產(chǎn)線500萬元，每萬元可創(chuàng)造利潤
萬元，該公司通過引進先進技術(shù)，在生產(chǎn)線A投資減少了x萬元，且每萬元的利潤提高了
；若將少用的x萬元全部投入B生產(chǎn)線，每萬元創(chuàng)造的利潤為
萬元，其中
．
若技術(shù)改進后A生產(chǎn)線的利潤不低于原來A生產(chǎn)線的利潤，求x的取值范圍；
若生產(chǎn)線B的利潤始終不高于技術(shù)改進后生產(chǎn)線A的利潤，求a的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面
，
，
是等邊三角形，已知
，
．
（1）設(shè)
是
上的一點，證明：平面
平面
；
（2）求四棱錐的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實施方案，決定從2018年秋季入學(xué)的高中一年級學(xué)生開始實施“
”高考模式.所謂“”，即“3”是指考生必選語文、數(shù)學(xué)、外語這三科；“1”是指考生在物理、歷史兩科中任選一科；“2”是指考生在生物、化學(xué)、思想政治、地理四科中任選兩科.
（1）若某考生按照“”模式隨機選科，求選出的六科中含有“語文，數(shù)學(xué)，外語，物理，化學(xué)”的概率.
（2）新冠疫情期間，為積極應(yīng)對“”新高考改革，某地高一年級積極開展線上教學(xué)活動.教育部門為了解線上教學(xué)效果，從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生2500名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測試，并給前400名頒發(fā)榮譽證書，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測試成績服從正態(tài)分布，且滿分為450分.
①考生甲得知他的成績?yōu)?/span>270分，考試后不久了解到如下情況：“此次測試平均成績?yōu)?/span>171分，351分以上共有57人”，請用你所學(xué)的統(tǒng)計知識估計甲能否獲得榮譽證書，并說明理由；
②考生丙得知他的實際成績?yōu)?/span>430分，而考生乙告訴考生丙：“這次測試平均成績?yōu)?/span>201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計學(xué)知識幫助丙同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn)危⒄f明理由.
附：
；
；
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】全國校足辦決定于2019年8月組織開展全國青少年校園足球夏令營總營活動.某校購買
兩種不同品牌的足球，其中
種品牌足球
個，
種品牌足球
個，共需元
，已知種品牌足球的售價比種品牌足球的售價高
元/個.
（1）求兩種品牌足球的售價；
（2）該校為舉辦足球聯(lián)誼賽，決定第二次購買兩種不同品牌的足球.恰逄商場對兩種品牌足球的售價進行調(diào)整，種品牌足球售價比第一次購買時提高了
元/個
，種品牌足球按第一次購買時售價的
折(即原價的
)出售.如果第二次購買種品牌足球的個數(shù)比第一次少
個，第二次購買種品牌足球的個數(shù)比第一次多
個，則第二次購買兩種品牌足球的總費用比第一次少
元.求的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
，
平面
，且
，底面為直角梯形，
，
，
，
，，，
、
分別為
、
的中點，平面
與
的交點為
.
（1）求
的長度；
（2）求截面的底面所成二面角的大小；
（3）求點
到平面的距離.
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