Question

（2007•普陀區一模）現有問題：“對任意x＞0，不等式x-a+

1

x+a

＞0恒成立，求實數a的取值范圍．”有兩位同學用數形結合的方法分別提出了自己的解題思路和答案：
學生甲：在一個坐標系內作出函數f(x)=

1

x+a

和g（x）=-x+a的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在g（x）的上方．可解得a的取值范圍是[0，+∞]
學生乙：在坐標平面內作出函數f(x)=x+a+

1

x+a

的大致圖象，隨著a的變化，要求f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在直線y=2a的上方．可解得a的取值范圍是[0，1]．
則以下對上述兩位同學的解題方法和結論的判斷都正確的是（　　）

A．甲同學方法正確，結論錯誤

B．乙同學方法正確，結論錯誤

C．甲同學方法正確，結論正確

D．乙同學方法錯誤，結論正確

Answer 1

分析：數形結合解決恒成立問題，應盡量使被研究函數是我們熟悉的基本函數，本例中學生甲使用的函數為一次函數和反比例函數與一次函數的簡單復合，符合數形結合的要求，但學生甲的結論顯然是錯誤的；對于學生乙，選擇的函數是我們不太熟悉的函數，解決問題困難較大

解答：解：函數f(x)=

1

x+a

的圖象是將函數y=

1

x

的圖象向左（a＞0），或向右（a＜0）平移|a|個單位得到的
函數g（x）=-x+a的圖象是斜率為-1，在y軸上的截距為a的直線，
當a=0和a=1時，兩函數在y軸右側的圖象如圖
要使f（x）的圖象再y軸右側的部分恒在g（x）的上方
數形結合可知a的取值范圍是[0，1]．
故選A

點評：本題考查了數形結合解決不等式恒成立問題的方法，由于本題中兩個函數都在動，給數形結合帶來一定難度，解題時要善于從特殊值入手，理解題意，解決問題