Question

【題目】某基建公司年初以100萬元購進一輛挖掘機，以每年22萬元的價格出租給工程隊．基建公司負責挖掘機的維護，第一年維護費為2萬元，隨著機器磨損，以后每年的維護費比上一年多2萬元，同時該機器第x（x∈N* ， x≤16）年末可以以（80﹣5x）萬元的價格出售．
（1）寫出基建公司到第x年末所得總利潤y（萬元）關于x（年）的函數解析式，并求其最大值；
（2）為使經濟效益最大化，即年平均利潤最大，基建公司應在第幾年末出售挖掘機？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣ x（2+2x）

=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），

由二次函數的性質可得，當x=8時，ymax=44，

即有總利潤的最大值為44萬元

（2）解：年平均利潤為 =16﹣（x+ ），設f（x）=16﹣（x+ ），x＞0，

由x+ ≥2 =4 ，當x=2 時，取得等號．

由于x為整數，且4＜2 ＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，

即有x=4或5時，f（x）取得最大值，且為7萬元．

故使得年平均利潤最大，基建公司應在第4或5年末出售挖掘機

【解析】（1）由題意可得總利潤y等于總收入減去總成本（固定資產加上維護費），結合二次函數的最值求法，即可得到最大值；（2）求得年平均利潤為 ，再由基本不等式，結合x為正整數，加上即可得到最大值，及對應的x的值．