Question

已知a＞0，a≠1，設(shè)p：函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果p且q為假命題，p或q為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性我們易判斷出命題p為真命題時(shí)參數(shù)a的取值范圍，及命題p為假命題時(shí)參數(shù)a的取值范圍；根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的確定方法，我們易判斷出命題q為真命題時(shí)參數(shù)a的取值范圍，及命題q為假命題時(shí)參數(shù)a的取值范圍；由p且q為假命題，p或q為真命題，我們易得到p與q一真一假，分類討論，分別構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：若p為真，則0＜a＜1．若q為真，
則△＞0即（2a-3）²-4＞0解得a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∵p且q為假，p或q為真，
∴p與q中有且只有一個為真命題．（a＞0且a≠1）
若p真q假，則

0＜a＜1 1 2 ≤a＜1或1＜a≤ 5 2

∴

1

2

≤a＜1
若p假q真，則

a＞1 0＜a＜ 1 2 或a＞ 5 2

∴a＞

5

2

綜上所述，a的取值范圍為：[

1

2

，1）∪（

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合命題的真假，二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷兩個命題為真或?yàn)榧贂r(shí)參數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．