Question

已知a＞0且a≠1，設p：函數y=a^x在R上單調遞增，q：設函數y=

2x-2a，(x≥2a) 2a，(x＜2a)

，函數y≥1恒成立，若p∧q為假，p∨q為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p、q是真命題的a的范圍，據復合命題的真假分類討論轉化成p q的真假情況，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：若p是真命題，則a＞1
若q是真命題，則函數y≥1恒成立，即函數y的最小值大于或等于1，而y_min=2a
只需2a≥1，
∴a≥

1

2

，
∴q為真命題時a≥

1

2

且a≠1，
又∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p與q一真一假．
若p真q假，則實數a不存在；
若p假q真，
則

1

2

≤a＜1．
故實數a的取值范圍為

1

2

≤a＜1．

點評：本題考查復合命題的真假與構成其簡單命題的真假的關系；考查不等式恒成立等價轉化成求函數最值．