Question

（2013•普陀區二模）已知a＞0且a≠1，函數f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數F（x）的定義域D及其零點；
（2）若關于x的方程F（x）-m=0在區間[0，1）內有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可得F（x）的解析式，由

x+1＞0 1-x＞0

可得定義域，令F（x）=0，由對數函數的性質可解得x的值，注意驗證即可；
（2）方程可化為am=1-x+

4

1-x

-4，設1-x=t∈（0，1]，構造函數y=t+

4

t

，可得單調性和最值，進而可得嗎的范圍．

解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga

1

1-x

（a＞0且a≠1）
由

x+1＞0 1-x＞0

，可解得-1＜x＜1，
所以函數F（x）的定義域為（-1，1）
令F（x）=0，則2loga(x+1)+loga

1

1-x

=0…（*）  
方程變為loga(x+1)2=loga(1-x)，即（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3，經檢驗x=-3是（*）的增根，所以方程（*）的解為x=0
即函數F（x）的零點為0．
（2）方程可化為m=2loga(x+1)+loga

1

1-x

=loga

x2+2x+1

1-x

=loga(1-x+

4

1-x

-4)，
故am=1-x+

4

1-x

-4，設1-x=t∈（0，1]
函數y=t+

4

t

在區間（0，1]上是減函數
當t=1時，此時x=0，y_min=5，所以a^m≥1
①若a＞1，由a^m≥1可解得m≥0，
②若0＜a＜1，由a^m≥1可解得m≤0，
故當a＞1時，實數m的取值范圍為：m≥0，
當0＜a＜1時，實數m的取值范圍為：m≤0

點評：本題考查函數的零點與方程的跟的關系，屬中檔題．