Question

已知向量

m

=（2cos²x，sinx），

n

=（1，2cosx）．
（I）若

m

⊥

n

且0＜x＜π，試求x的值；
（II）設f（x）=

m

•

n

，試求f（x）的對稱軸方程和對稱中心．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

⊥

n

可得

2

sin（2x+

π

4

）+1=0，又0＜x＜π，從而可求得x的值；
（Ⅱ）由f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，由2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，可求得其對稱軸方程；由2x+

π

4

=kπ，k∈Z，可求其對稱中心的橫坐標，繼而可得答案．

解答：解：（I）∵

m

⊥

n

．
∴

m

•

n

=2cos²x+2sinxcosx…（2分）
=cos2x+sin2x+1
=

2

sin（2x+

π

4

）+1
=0，…（4分）
∵0＜x＜π，
∴2x+

π

4

∈（

π

4

，

9π

4

），
∴2x+

π

4

=

5π

4

或

7π

4

，
∴x=

π

2

或

3π

4

．…（6分）
（II）∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，可得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，
∴對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，…（9分）
令2x+

π

4

=kπ，k∈Z，可得x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，
∴對稱中心為（

kπ

2

-

π

8

，1）k∈Z，…（12分）

點評：本題考查三角函數中的恒等變換，考查向量的坐標運算，考查正弦函數的對稱軸與對稱中心，掌握向量的坐標運算公式與正弦函數的性質是根本，屬于中檔題．