Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

與向量

q

=（1，0）的夾角為

π

2

，而向量p=(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

))，其中0＜x＜

2π

3

，試求|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式將已知條件轉化為

n

的坐標滿足的方程，解方程求出

n

的坐標．
（2）利用向量垂直的充要條件求出

n

的坐標，進一步求出

n

+

p

的坐標，利用向量模的坐標公式表示出

n

+

p

的模為含一個角的余弦函數，求出整體角的范圍，利用三角函數的有界性求出

n

+

p

的模的范圍．

解答：解：（1）令

n

=(a，b)，則由

m

•

n

=-1得a+b=-1①
由向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，得a²+b²=1②
由①②解得

a=-1 b=0

或

a=0 b=-1

∴

n

=（-1，0）或

n

=（0，-1），
（2）由向量

n

與向量

q

的夾角為

π

2

，
得

n

=（0，-1），
∴

n

+

p

=(cosx，2cos2(

π

3

-

x

2

)-1)=(cosx，cos(

2π

3

-x))，
∴|

n

+

p

|2=cos2x+cos2(

2π

3

-x)=

1+cos2x

2

+

1+cos( 4π 3 -2x)

2

=1+

1

2

[cos2x+cos(

4π

3

-2x)]=1+

1

2

cos(

π

3

+2x)
∵0＜x＜

2π

3

，
∴

π

3

＜

π

3

+2x＜

5π

3

，
∴-1≤cos(

π

3

+2x)≤

1

2

，
∴

1

2

≤1+

1

2

cos(2x+

π

3

)＜

5

4

，
∴|

n

+

p

|∈[

2

2

，

5

2

)．

點評：本題考查向量的數量積公式、向量垂直的充要條件、向量模的坐標公式及求三角函數在閉區間上的值域問題，屬于中檔題．