Question

已知函數f（x）=x3﹣x2++，且存在x0∈（0，），使f（x0）=x0．

（1）證明：f（x）是R上的單調增函數；

（2）設x1=0，xn+1=f（xn）；y1=，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…，證明：xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；

（3）證明：＜．

 

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）證明函數f（x）在R上的單調增，只需證其導函數在R上恒大于零即可；

（2）先驗證n=1時是否成立，假設當n=k（k≥1）時有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk，再驗證n=k+1時是否成立；

（3）利用基本不等式進行化簡，利用整體的思想轉化成二次函數，再根據二次函數性質求函數的最值即可．

【解析】
（1）∵f'（x）=3x2﹣2x+=3（x﹣）2+＞0，

∴f（x）是R上的單調增函數．

（2）∵0＜x0＜，即x1＜x0＜y1．又f（x）是增函數，

∴f（x1）＜f（x0）＜f（y1）．即x2＜x0＜y2．

又x2=f（x1）=f（0）=＞0=x1，y2=f（y1）=f（）=＜=y1，

綜上，x1＜x2＜x0＜y2＜y1．

用數學歸納法證明如下：

①當n=1時，上面已證明成立．

②假設當n=k（k≥1）時有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk．

當n=k+1時，

由f（x）是單調增函數，有f（xk）＜f（xk+1）＜f（x0）＜f（yk+1）＜f（yk），

∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1

由①②知對一切n=1，2，都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn．

（3）==yn2+xnyn+xn2﹣（yn+xn）+≤（yn+xn）2﹣（yn+xn）+

=[（yn+xn）﹣]2+．

由（Ⅱ）知0＜yn+xn＜1．

∴﹣＜yn+xn﹣＜，

∴＜（）2+=