Question

（1）已知等差數列{a_n}，bn=

a1+a2+a3+…+an

n

（n∈N^*），求證：{b_n}仍為等差數列；
（2）已知等比數列{c_n}，c_n＞0（n∈N^*）），類比上述性質，寫出一個真命題并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由求和公式可得b_n=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，進而可得b_n+1-b_n為常數，可判為等差數列；
（2）類比命題：若{c_n}為等比數列，c_n＞0，（n∈N^*），d_n=

n	c1•c2…cn

，則{d_n}為等比數列，只需證明

dn+1

dn

為常數即可．

解答：解：（1）由題意可知b_n=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，
∴b_n+1-b_n=

a1+an+1

2

-

a1+an

2

=

an+1-an

2

，
∵{a_n}等差數列，∴b_n+1-b_n=

an+1-an

2

=

d

2

為常數，（d為公差）
∴{b_n}仍為等差數列；
（2）類比命題：若{c_n}為等比數列，c_n＞0，（n∈N^*），
d_n=

n	c1•c2…cn

，則{d_n}為等比數列，
證明：由等比數列的性質可得：d_n=

n	(c1cn) n 2

=

c1cn

，
故

dn+1

dn

=

cn+1 cn

=

q

為常數，（q為公比）
故{d_n}為等比數列

點評：本題考查等差數列的定義，涉及類比推理和等比數列的定義，屬中檔題．