Question

【題目】設函數f（x）=xex﹣asinxcosx（a∈R，其中e是自然對數的底數）．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）若對于任意的x∈[0， ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使得函數f（x）在區間 上有兩個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=xex，f′（x）=ex（x+1），

令f′（x）=0，得x=﹣1，

列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	↘	極小值	↗

所以函數f（x）的極小值為 ，無極大值

（2）解：①當a≤0時，由于對于任意 ，有sinxcosx≥0，

所以f（x）≥0恒成立，當a≤0時，符合題意；

②當0＜a≤1時，因為f′（x）≥ex（x+1）﹣acos2x≥e0（0+1）﹣acos0=1﹣a≥0，

所以函數f（x）在 上為增函數，所以f（x）≥f（0）=0，即當0＜a≤1，符合題意；

③當a＞1時，f′（0）=1﹣a＜0， ，

所以存在 ，使得f′（α）=0，且在（0，α）內，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，α）上為減函數，所以f（x）＜f（0）=0，

即當a＞1時，不符合題意，

綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，1]

（3）解：不存在實數a，使得函數f（x）在區間 上有兩個零點，

由（2）知，當a≤1時，f（x）在 上是增函數，且f（0）=0，

故函數f（x）在區間 上無零點，

當a＞1時，f′（x）≥ex（x+1）﹣acos2x，

令g（x）=ex（x+1）﹣acos2x，g′（x）=ex（x+2）+2asin2x

當 時，恒有g′（x）＞0，所以g（x）在 上是增函數，

由 ，

故g（x）在 上存在唯一的零點x0，即方程f′（x）=0在 上存在唯一解x0，

且當x∈（0，x0）時，f′（x）＜0，當 ，f′（x）＞0，

即函數f（x）在（0，x0）上單調遞減，在 上單調遞增，

當x∈（0，x0）時，f（x）＜f（0）=0，即f（x）在（0，x0）無零點；

當 時， ，

所以f（x）在 上有唯一零點，

所以，當a＞1時，f（x）在 上有一個零點，

綜上所述，不存在實數a，使得函數f（x）在區間 上有兩個零點

【解析】（1）將a=0代入f（x），求出函數的導數，列出表格，求出函數的極值即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數的導數，確定函數的單調區間，從而確定a的范圍即可；（3）求出當a≤1時，函數f（x）在區間 上無零點，a＞1時，求出函數的導數，根據函數的單調性得到f（x）在 上有一個零點，從而判斷結論即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．