Question

選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=1+

2

，圓C的圓心是C(

2

，

π

4

)，半徑為

2

．
（1）求圓C的極坐標方程；
（2）求直線l被圓C所截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）先利用圓心坐標與半徑求得圓的直角坐標方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的極坐標方程．
（2）把直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，再把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，再根據圓的半徑，求出弦長．

解答：解：（1）將圓心C(

2

，

π

4

)，化成直角坐標為（ 1，1），半徑r=

2

，（2分）
故圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2．即x²+y²=2x+2y（4分）
再將C化成極坐標方程，得ρ²=2ρsinθ+2ρ sinθ．（6分）
化簡，得ρ²=2

2

ρsin（θ+

π

4

）．此即為所求的圓C的極坐標方程．（10分）
（2）∵直線l的極坐標方程為ρsin(θ+

π

4

)=1+

2

，可化為x+y=2+

2

，…（14分）
∴圓C的圓心C（1，1）到直線l的距離為d=

|1+1-2- 2 |

2

=1，…（15分）
又∵圓C的半徑為r=

2

，
∴直線l被曲線C截得的弦長l=2

r2-d2

=2 …（16分）

點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，即利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即可．