Question

已知函數f（x）的值滿足f（x）＞0（當x≠0時），對任意實數x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，當0＜x＜1時，f（x）∈（0，1）．
（1）求f（1）的值，判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤

3	9

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令x=y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1），從而得到函數是偶函數；
（2）設0＜x₁＜x₂，∴0＜

x1

x2

＜1，f（x₁）=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)•f（x₂），從而f（x₁）＜f（x₂），進而求出函數的單調性；
（3）由題意得9=[f（3）]³，結合f（a+1）≤

3	9

，得到f（a+1）≤f（3），從而得到答案．

解答： 解：（1）令x=y=-1，f（1）=1，
令y=-1，則f（-x）=f（x）•f（-1），∵f（-1）=1，
∴f（-x）=f（x），f（x）為偶函數；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函數，
證明：設0＜x₁＜x₂，∴0＜

x1

x2

＜1，
f（x₁）=f(

x1

x2

•x2)=f(

x1

x2

)•f（x₂），
△y=f(x2)-f(x1)=f(x2)-f(

x1

x2

)f(x2)=f(x2)(1-f(

x1

x2

))，
∵0＜f(

x1

x2

)＜1，f(x2)＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）∵f（27）=9，
又f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]³，
∴9=[f（3）]³，∴f（3）=

3	9

，
∵f（a+1）≤

3	9

，∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，a+1，3都大于0，∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，故0≤a≤2．

點評：本題考查了函數的奇偶性，考查了函數的單調性，是一道中檔題．