Question

【題目】已知數列各項不為0，前項和為.

（1）若，，求數列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，已知，分別求和的表達式；

（3）證明：是等差數列的充要條件是：對任意，都有：.

Answer 1

【答案】（1）；（2） 4（）n﹣4，；（3）證明見解析

【解析】

根據與的關系式， ，計算即可得出答案.

（2）將各項配湊成二項式展開式的形式，再利用二項式展開式的性質計算即可;關于，利用倒序求和法，再用二項式展開式化簡，即可得出答案.

（3）必要性：利用裂項相消法化簡即可得證；充分性：兩次作差變形即可說明其為等差數列.

（1） 因為，所以

當時，

當時，有

即

所以數列為以為首項，為公比的等比數列.

所以.

（2），

所以

所以

所以

①

②

①+②：

（3）證明：先證必要性.設數列的公差為,若，則不等式顯然成立.

若，則

.

再證充分性：依題意有，

，

化簡得：

同理可得：

得：，即.

所以數列為等差數列.