Question

如圖，已知圓O：x²+y²=1，O為坐標原點．
（1）邊長為的正方形ABCD的頂點A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當點A在圓O上運動時，C點的軌跡為E．
①求軌跡E的方程；
②過軌跡E上一定點P（x，y）作相互垂直的兩條直線l₁，l₂，并且使它們分別與圓O、軌跡E相交，設l₁被圓O截得的弦長為a，設l₂被軌跡E截得的弦長為b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長度的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由題意知OA²+OB²=AB²，，，在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BC=5．由此可知軌跡E的方程；②設點O到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，因為l₁⊥l₂，所以d₁²+d₂²=OP²=x²+y²=5，由此可知≤4=4[12-2（d₁²+d₂²）]=4（12-10）=8，即a+b的最大值．
（2）設正方形邊長為a，∠OBA=θ，則，．當A、B、C、D按順時針方向時，如圖所示，在△OBC中，，由，此時；當A、B、C、D按逆時針方向時，在△OBC中，，．由此可知，線段OC長度的最小值為，最大值為．
解答：解：（1）①如圖連接OB，OA，因為OA=OB=1，AB=，所以OA²+OB²=AB²，
所以，所以，在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BC=5，（2分）
所以軌跡E是以O為圓心，為半徑的圓，
所以軌跡E的方程為x²+y²=5；（3分）
②設點O到直線l₁，l₂的距離分別為d₁，d₂，
因為l₁⊥l₂，所以d₁²+d₂²=OP²=x²+y²=5，（5分）
則，
則
≤4=4[12-2（d₁²+d₂²）]=4（12-10）=8，（8分）
當且僅當，即時取“=”，
所以a+b的最大值為；（9分）
（2）設正方形邊長為a，∠OBA=θ，則，．
當A、B、C、D按順時針方向時，如圖所示，在△OBC中，，
即==，
由，此時；（12分）
當A、B、C、D按逆時針方向時，在△OBC中，，
即==，
由，此時，（15分）
綜上所述，線段OC長度的最小值為，最大值為．（16分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要注意數形結合．