Question

如圖，已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，點P(－1,1)為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，點F為其右焦點．

過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點Q．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線PQ與圓O相切．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

解析:

（1）由題意，得a =，e =，∴c =1，∴b²=1．

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．… 6分

（2）∵P(－1，1)，F(1，0)，∴，∴．所以直線OQ的方程為y =2x． 10分

又橢圓的右準(zhǔn)線方程為x =2，所以Q(2，4)，所以．

又，所以，即OP⊥PQ．故直線PQ與圓O相切．… 15分