Question

函數y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，記∠APB=θ，則sin2θ的值是（　　）

• A．

  16

  65

• B．

  63

  65

• C．-

  16

  63

• D．-

  16

  65

Answer 1

分析：由解析式求出函數的周期與最值，做出輔助線過p作PD⊥x軸于D，根據周期的大小看出直角三角形中直角邊的長度，解出∠APD與∠BPD的正弦和余弦，利用兩角和與差公式求出sinθ，進而求得sin2θ．

解答：解：函數y=sin（πx+φ）
∴T=

2π

π

=2，
過p作PD⊥x軸于D，則AD是四分之一個周期，有AD=

1

2

，DB=

3

2

，DP=1，AP=

5

2

在直角三角形中有sin∠APD=

5

5

，cos∠APD=

2 5

5

；cos∠BPD=

2 13

13

，sin∠BPD=

3 13

13

∴sinθ=sin（∠APD+∠BPD）=

5

5

×

2 13

13

+

2 5

5

×

3 13

13

=

8 65

65

cosθ=

65

65

∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

65

65

×

8 65

65

=

16

65

故選：A．

點評：本題考查三角函數的圖象的應用與兩角和的正切函數公式的應用，本題解題的關鍵是看出函數的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函數的定義得到結果，本題是一個中檔題目．