Question

設函數f （x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²，a∈R．
（Ⅰ） 若x=1是f （x）的極大值點，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 設函數g（x）=bx²-（2b+1）x+ln x （b≠0，b∈R），若函數f （x）有極大值，且g（x）的極大值點與f （x）的極大值點相同．當a＞-3時，求證：g（x）的極小值小于-1．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的導數，根據x=1是f （x）的極大值點，令導函數等于0的另一個根大于極大值點x=1，列出不等式，求出實數a的取值范圍．
（II）求出f（x）的導函數，令導函數為0，求出兩個根，據已知條件，兩個根不等，根據a的范圍，求出f（x）的極大值，求出g（x）的導數，求出g（x）的極大值，根據已知列出方程，求出極小值，得證．

解答：解：（Ⅰ）  f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
由于x=1是f （x）的極大值點，
故-

2a+3

3

＞1，
即a＜-3    
（Ⅱ） f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
g′（x）=

1

x

+2bx-（2b+1）=

(x-1)(2bx-1)

x

．
由于函數f （x）有極大值，故-

2a+3

3

≠1，即a≠-3．
當 a＞-3時，即-

2a+3

3

＜1，則f （x）的極大值點x=-

2a+3

3

，
所以，g（x）的極大值點x=

1

2b

，極小值點為x=1．
所以，

- 2a+3 3 = 1 2b 0＜ 1 2b ＜1

?

- 2a+3 3 = 1 2b b＞ 1 2

，
此時，g（x）的極小值g（1）=b-（2b+1）=-1-b＜-

3

2

＜-1．

點評：利用導數求函數的極值時，令導數等于0，然后判斷根左右兩邊的導函數符號，導函數符號先正后負，根為極大值；導函數符號先負后正，根為極小值．