Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2
（1）當a=-2時，寫出函數f（x）的單調區間．
（2）求實數a的取值范圍，是函數f（x）在區間[-5，5]上是單調增函數．
（3）若x∈[-5，5]，求函數f（x）的最小值h（a）．

Answer 1

（1）當a=-2時，f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，對稱軸為x=2，
∴函數f（x）在（-∞，2]上單調遞減，在[2，+∞）上單調遞增．
（2）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，對稱軸為x=-a，拋物線開口向上，
要使函數f（x）在區間[-5，5]上是單調增函數，則區間[-5，5]在對稱軸的右側，
即滿足-a≤-5，即a≥5．
（3）f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a²，對稱軸為x=-a，拋物線開口向上，
①若-a≤-5，即a≥5．此時f（x）在區間[-5，5]上單調遞增，
∴最小值為f（-5）=27-10a，
即h（a）=f（-5）=27-10a．
②若-5＜-a＜5，此時最小值為f（-a）=2-a²，即h（a）=f（-a）=2-a²．
③若-a≥5，即a≤-5．此時f（x）在區間[-5，5]上單調遞減，
∴最小值為f（5）=27+10a，
即h（a）=f（5）=27+10a．
綜上：h（a）=

27-10a，a≥5 2-a2，-5＜a＜a 27+10a，a≤-5

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