Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），左準(zhǔn)線l₁與x軸交于點(diǎn)N（-3，0），過N點(diǎn)作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若以AB為直徑的圓過點(diǎn)F₁，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)知c=2，

a2

c

=3，a2=6，b2=a2-c2=2，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，設(shè)AB的方程為y=k（x+3），由

y=kx+3k x2+3y2-6=0

得x2+3k2(x2+6x+9)-6=0，然后由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．

解答：解：（1）c=2，

a2

c

=3，a2=6，b2=a2-c2=2
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1（4分）
（2）當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，
與橢圓無公共點(diǎn)，∴可設(shè)AB的方程為y=k（x+3）
由

y=kx+3k x2+3y2-6=0

得x2+3k2(x2+6x+9)-6=0
即（3k²+1）x²+18k²x+27k²-6=0①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x1+x2=

18k2

3k2+1

x1x2=

27k2-6

3k2+1

（4分）
依題設(shè)有，

F1A

•

F2B

=0
即（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0（2分）x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+k²[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=0（k²+1）x₁x₂+（3k²+2）（x₁+x₂）+9k²+4=0

(k2+1)(27k2-6)

3k2+1

-

18k2(3k2+2)

3k2+1

+

(9k2+4)(3k2+1)

3k2+1

=0k2=

1

3

即k=±

3

3

（4分）
將k2=

1

3

代入得2x2+6x+3=0，△=36-24＞0
∴k=±

3

3

時(shí)問題的解
∴AB的方程為y=±

3

3

(x+3)（2分）

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．