Question

設函數f（x）=（x²-8x+c₁）（x²-8x+c₂）（x²-8x+c₃） （x²-8x+c₄），集合M={x|f（x）=0}={x₁，x₂…，x₇}⊆N⁺，設c₁≥c₂≥c₃≥c₄，則c₁-c₄（　�。�

• A、9
• B、8
• C、7
• D、6

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用

分析：易知f（x）=0的根由x²-8x+c₁=0，x²-8x+c₂=0，x²-8x+c₃=0，x²-8x+c₄=0得到，并且它們的根分別關于直線x=4對稱，依此可以計算這些根的和，則問題即可解決．

解答： 解；由題意原方程的根由x²-8x+c₁=0，x²-8x+c₂=0，x²-8x+c₃=0，x²-8x+c₄=0得到．
因為這些方程所對應的函數對稱軸相同，故這些根成對關于x=4對稱．又因為{x₁，x₂…，x₇}⊆N⁺，
所以根都是正整數，因此它們的根分別為1，7；2，6；3，5；4，4．
結合根與系數的關系，所以c的值為1×7=7，2×6=12，3×5=15，4×4=16．
結合c₁≥c₂≥c₃≥c₄，所以c₁=7，c₄=16，所以c₄-c₁=9．
故選A．

點評：本題考查了函數與方程的關系，實際上是一元二次方程與二次函數的關系，要注意韋達定理的應用．