Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設F₁、F₂為橢圓的左、右焦點，過F₂作直線交橢圓于P、Q兩點，求△PQF₁的內切圓半徑r的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出直線的方程，利用直線的截距式寫出直線的方程，利用點到直線的距離公式列出關于a，b，c的等式，再利用橢圓的離心率公式得到關于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值即得到橢圓的方程．
（2）設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得到關于交點坐標的關系，寫出△PQF₁的面積并求出最大值，再將面積用外接圓的半徑表示，求出半徑的最大值．

解答：解：（1）直線AB 的方程為

x

a

-

y

b

=1即bx-ay-ab=0
由題意得

ab

a2+b2

=1①
∵

c

a

=

6

3

②
a²=b²+c²③
解得a=

3

，b=1
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1
（2）設PQ：x=ty+

2

代入

x2

3

+y2=1
并整理得(t2+3)y2+2

2

ty-1=0
△=(2

2

t)2+4(t2+3)＞0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則
y1+y2=-

2 2 t

t2+3

，y1y2=-

1

t2+3

∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 2 2 t t2+3 )2+ 4 t2+3

=2

3

-( 1 t2+3 - 1 4 )2+ 1 8

當

1

t2+3

=

1

4

即t²=1時，|y1-y2|max=

6

2

∴S△PQF1=

1

2

|F1F2||y1- y2|≤

1

2

•2

2

•

6

2

=

3

又∴S△PQF1=

1

2

(|PF1 | +|QF1|+|PQ|)r=

1

2

•4

3

r=2

3

r
∴rmax=

3

2 3

=

1

2

點評：求圓錐曲線的方程的一般方法是利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的位置關系一般是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，消去一個未知數得到關于一個未知數的二次方程，利用韋達定理找突破口．