Question

已知函數F(x)=-x⁴+ax³+x²+b，(a，b為常數)，
(1)當a=1時，F(x)=0有兩個不相等的實根，求b的取值范圍；
(2)若F(x)有三個不同的極值點0、x₁、x₂，a為何值時，能使函數F(x)在x₁(或x₂)處取得的極值為b？
(3)若對任意的a∈[-1，0]，不等式F(x)≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

解：(1)當a=1時，，
記，
則，
令g′(x)=0，得x=-1，0，4，
當x變化時，g′(x)、g(x)的變化情況如下表：

由已知，知直線y=b與y=g(x)的圖象有且只有兩個公共點，所以或b＞0，
∴b的取值范圍為。
(2)，
則是的兩個不相等的非零實根，
∴，且，（*）
不妨設，
∴，
即，①，
又∵，②
①+②，得，即，③
代入②，得x₁²-2ax₁=0，
∵x₁≠0，∴x₁=2a，
代入③，得，
∴a=-2或，經檢驗，a=-2或都滿足(*)，
故a=-2或。
(3)當a∈[-1，0]時，可知，
∴恒成立，
∴x＞0時，f′(x)＜0；x＜0時，f′(x)＞0，
∴F(x)在(-∞，0)內遞增，在(0，+∞)內遞減，
∴F(x)在[-2，2]上的最小值min{F(-2)，F(2)}=2a²+18a-8+b≥-8恒成立，
∴，
當a=-1時，-2a²-18a取最大值16，
所以b的取值范圍為[16，+∞)．