Question

（本小題滿分12分）
已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

Answer 1

（1）；（2）見解析.

（Ⅰ）利用相關點法把所求點的問題轉化已知動點問題，從而得到曲線的軌跡方程；（Ⅱ）聯立方程，利用韋達定理及條件轉化為點的坐標關系，從而求出點的坐標。
解：（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為．  ………………2分       
（2）設點的坐標為，直線的方程為，　　………………3分　 　
代入曲線的方程，可得　，……5分            
∵，∴，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓的內部得到此結論）
………………6分
設點,的坐標分別, ，則，               
要使被軸平分，只要，            ………………9分
即，，        ………………10分
也就是，，
即，即只要　 ………………12分　 
當時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點，使得總能被軸平分．