Question

已知關于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0的解集為A，且A中共含有n個整數，則當n最小時實數a的值為

-2

．

Answer 1

分析：根據已知關于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0，對字母a進行分類討論：①a＜0時，[x-（a+

4

a

）]（x-4）＜0，其中a+

4

a

＜0，故解集為（a+

4

a

，4），利用基本不等式得出a+

4

a

的最大值為-4，從而A中共含有最少個整數，求得此時實數a的值；②a=0時，-4（x-4）＞0，解集為（-∞，4），整數解有無窮多，不符合條件； ③a＞0時，[x-（a+

4

a

）]（x-4）＞0，此時整數解有無窮多，不符合條件．

解答：解：已知關于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0，
 ①a＜0時，[x-（a+

4

a

）]（x-4）＜0，其中a+

4

a

＜0，
故解集為（a+

4

a

，4），
由于a+

4

a

=-（-a-

4

a

）≤-2

(-a)(- 4 a )

=-4，
當且僅當-a=-

4

a

，即a=-2時取等號，
∴a+

4

a

的最大值為-4，當且僅當a+

4

a

=-4時，A中共含有最少個整數，此時實數a的值為-2；
②a=0時，-4（x-4）＞0，解集為（-∞，4），整數解有無窮多，故a=0不符合條件；
③a＞0時，[x-（a+

4

a

）]（x-4）＞0，其中a+

4

a

≥4，
∴故解集為（-∞，4）∪（a+

4

a

，+∞），整數解有無窮多，故a＞0不符合條件；
綜上所述，a=-2．
故答案為：-2．

點評：本小題主要考查一元二次不等式的應用、元素與集合關系的判斷、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類討論思想．屬于基礎題．