Question

（本題滿分18分）本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.
已知數列滿足.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若是公比為等比數列，，求的取值范圍；
（3）若成等差數列，且，求正整數的最大值，以及取最大值時相應數列的公差.

Answer 1

（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.

試題分析：（1）比較容易，只要根據已知列出不等式組，即可解得；（2）首先由已知得不等式，即，可解得。又有條件，這時還要忘記分類討論，時，，滿足，當時，有，解這不等式時，分類，分和進行討論；（3）由已知可得∴，∴，，這樣我們可以首先計算出的取值范圍是，再由，可得，從而，解得，即最大值為1999，此時可求得．
試題解析：（1）由題得，
（2）由題得，∵，且數列是等比數列，，
∴，∴，∴.
又∵，∴當時，對恒成立，滿足題意.
當時，
∴①當時，，由單調性可得，，解得，
②當時，，由單調性可得，，解得，
（3）由題得，∵，且數列成等差數列，，
∴，∴，,
所以時，，時，，所以．
∴
又∵，∴
∴，∴，解得，，
∴的最大值為1999，此時公差為．
【考點】解不等式（組），數列的單調性，分類討論，等差（比）數列的前項和.