Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）若.

（�。┣蠛瘮�的極小值；

（ⅱ）求函數在點處的切線方程.

（Ⅱ）若函數在上有極值，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（�。�，（ⅱ）； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）（�。┤�，可得定義域，對其求導，令，得其單調性，進而求得極小值；

（ⅱ）求得，與坐標，由直線的點斜式表示切線方程；

（Ⅱ）求其求導，構造，將已知在上有極值，等價于在上兩個不等根，對方程參變分離，由不等式的簡單性質得到的物質范圍.也可以在函數圖象中利用特殊點位置與判別式求得答案.

（Ⅰ）（�。┤�，則，其定義域為

.

當時，；當時，.

所以函數有極小值

（ⅱ），，切線方程為，即

（Ⅱ）由題可知，.

法一：記.

若在上有極值，等價于在上兩個不等根.

由得，

所以.

因為，所以.經檢驗當時，方程無重根.

故函數在上有極值時a的取值范圍為.

法二：

若在上有極值，等價于在上兩個不等根,則

①，

②

③若，得，經檢驗不成立

④若，得，經檢驗不成立

綜上所述，a的取值范圍為.