Question

【題目】已知函數（）的圖象在處的切線為（為自然對數的底數）

（1）求的值；

（2）若，且對任意恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.

【解析】（1）對求導得，根據函數的圖象在處的切線為，列出方程組，即可求出的值；（2）由（1）可得，根據對任意恒成立，等價于對任意恒成立，構造，求出的單調性，由， ， ， ，可得存在唯一的零點，使得，利用單調性可求出，即可求出的最大值.

（1）， .

由題意知.

（2）由（1）知： ，

∴對任意恒成立

對任意恒成立

對任意恒成立.

令，則.

由于，所以在上單調遞增.

又， ， ， ，

所以存在唯一的，使得，且當時， ， 時， . 即在單調遞減，在上單調遞增.

所以.

又，即，∴.

∴.

∵，∴ .

又因為對任意恒成立，

又，∴ .