Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線經過橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與軸交于點，、是橢圓上的兩個動點，且它們在軸的兩側，的平分線在軸上，|，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點.

【解析】

（1）求出后可得橢圓的標準方程.

（2）設的方程為，，，的平分線在軸上等價于，聯立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達定理化簡可得，從而得到所求的定點.

（1）在直線方程中令，則，

故，又，故，所以，所以橢圓標準方程為：.

（2）因為、在在軸的兩側，故的斜率必存在，

設的方程為，，，

因為在軸上且在直線，故.

因為的平分線在軸上，所以，而，

代入整理得到：.

由可得，

所以，

所以，化簡得到，

所以對任意的，總有，故直線過定點.