Question

【題目】如圖1所示，在等腰梯形，，，垂足為，，．將沿折起到的位置，使平面平面，如圖2所示，點為棱的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）在圖1的等腰梯形內，過作的垂線，垂足為，可得四邊形為正方形，且，為中點．在圖2中，連結，證明．結合，利用平面與平面平行的判定可得平面平面，從而得到平面；

（2）由平面平面，，得平面．進一步得到．求解三角形證明．再由線面垂直的判定可得平面；

（3）證明面，可得線段為三棱錐底面的高，然后利用等積法求三棱錐的體積．

（1）在如圖的等腰梯形內，

過作的垂線，垂足為，

∵，

∴ ，

又∵，，，

∴ 四邊形為正方形，且，為中點．

在如圖中，

連結，

∵ 點是的中點，

∴．

又∵ ，，，平面，，平面，

∴ 平面平面，

又∵ 面，

∴平面；

（2）∵ 平面平面，

平面平面，，平面，

∴ 平面．

又∵平面，

∴．

又，，，滿足，

∴．

又，

平面；

（3）∵，，，

∴ 面．

又線段為三棱錐底面的高，

∴ ．