Question

【題目】已知曲線與軸有唯一公共點.

（Ⅰ）求實數的取值范圍；

（Ⅱ）曲線在點處的切線斜率為.若兩個不相等的正實數，滿足，求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

試題求導得，討論、時兩種情況，由函數與軸有唯一公共點，借助零點存在定理和極限求出的取值范圍由（Ⅰ）的結論，求導結合題意解得，由，不妨設，，構造即可證明

解析：（Ⅰ）解：函數的定義域為..

由題意，函數有唯一零點..

（1）若，則.

顯然恒成立，所以在上是增函數.

又，所以符合題意.

（2）若，.；.

所以在上是減函數，在上是增函數.

所以 .

由題意，必有（若，則恒成立，無零點，不符合題意）

①若，則.

令，則 .

；.

所以函數在上是增函數，在上是減函數.

所以.所以，當且僅當時取等號.

所以，，且.

取正數，則 ；

取正數，顯然.而，

令，則.當時，顯然.

所以在上是減函數.

所以，當時， ，所以.

因為，所以 .

又在上是減函數，在上是增函數，

則由零點存在性定理，在、上各有一個零點.

可見，，或不符合題意.

注：時，若利用，，，說明在、上各有一個零點.

②若，顯然，即.符合題意.

綜上，實數的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，.所以，即.

由（Ⅰ）的結論，得.

，在上是增函數.

；.

由，不妨設，則.

從而有，即.

所以 .

令，顯然在上是增函數，且.

所以.

從而由，得.