Question

（2012•靜安區一模）（1）已知a、b為正實數，a≠b，x＞0，y＞0．試比較

a2

x

+ 

b2

y

與

(a+b)2

x+y

的大小，并指出兩式相等的條件；
（2）求函數f（x）=

2

x

+

9

1-2x

，x∈(0，

1

2

)的最小值．

Answer 1

分析：（1）作差比較，即可判斷兩式的關系；
（2）構造滿足基本不等式的條件，利用基本不等式求解即可．

解答：解：（1）作差比較：

a2

x

+ 

b2

y

-

(a+b)2

x+y

=

(ay-bx)2

xy(x+y)

≥0．…（4分）
所以，

a2

x

+ 

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

．…（6分）
當ay=bx時，兩式相等．…（8分）
（2）函數f（x）=

2

x

+

9

1-2x

=

4

2x

+

9

1-2x

≥

(2+3)2

2x+1-2x

=25．…（3分）
當2（1-2x）=3×2x，即x=

1

5

∈(0，

1

2

)時，函數取得最小值25．…（6分）

點評：本題考查大小比較，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是構造滿足基本不等式的條件．