Question

【題目】（本小題滿分13分）已知函數（為常數，）

（1）若是函數的一個極值點，求的值；

（2）求證：當時，在上是增函數；

（3）若對任意的，總存在，使不等式成立，求正實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用函數在處的導數為0即可求出的值；（2）利用函數的單調性與導數的關系跑到導函數在區間上恒大于0即可（3）若可導函數在指定的區間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析： 1分

（1）由已知，得且， 2分

3分

（2）當時，

4分

當時，又 5分

故在上是增函數

（3）時，由（2）知，在上的最大值為

于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立. 7分

記

則. 8分

因為 9分

若，可知在區間上遞減，在此區間上，有

，與恒成立相矛盾，故，這時， 12分

在上遞增，恒有，滿足題設要求，

即實數的取值范圍為 14分