Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（Ⅰ）當a=0時，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=0時，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2 ， 解得﹣ ≤x≤1，
故不等式的解集為[﹣ ，1]．
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|﹣2|x|≥a．
設h（x）=|x+1|﹣2|x|= ．
故當x≥0時，h（x）≤1． 當﹣1≤x＜0時，﹣2≤h（x）＜1． 當x＜﹣1時，h（x）＜﹣2．
綜上可得h（x）的最大值為1．
由題意可得1≥a，故實數a的取值范圍為（﹣∞，1]．
【解析】（Ⅰ）當a=0時，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2 ， 由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由題意可得|x+1|﹣2|x|≥a恒成立，求出h（x）的最大值為1，可得1≥a，由此求得實數a的取值范圍．