Question

【題目】已知函數．

（1）當函數在點處的切線方程為，求函數的解析式；

（2）在（1）的條件下，若是函數的零點，且，求的值；

（3）當時，函數有兩個零點，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）先求出的導函數，再根據且可以求得的值進而得函數的解析式；（2）先根據導數研究函數的單調性，再根據零點定理判定出零點所在區間即可求得的值；（3）根據做差先將表示成關于的函數，然后證明即可．

試題解析： （1），所以，

∴函數的解析式為；

（2），

因為函數的定義域為，

令，

當時，，單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

且函數的定義域為，

令，

且時，單調遞減，

當時，，單調遞增，

且函數至少有1個零點，而，不符合要求，

，

∴，故．

（3）當時，函數，

，兩式相減可得

．

，因為，

所以

設，

∴，

所以在上為增函數，且，

∴，又，所以．